The Logician

Naturaleza de la Lógica

§ 1. El lenguaje lógico

Condillac decía que la ciencia es un lenguaje bien hecho. De la lógica hubiera podido decir más: el que está mejor hecho de los lenguajes. Más que ningún otro se aproxima a un ideal inasequible: ser un lenguaje perfecto.

Que sea un lenguaje, es asunto muy debatido. Para nuestro propósito nos basta considerar el lenguaje como una entidad compuesta de una serie de sonidos, letras, gestos, señales, etc., capaces de comunicar un mensaje. En principio no importan, pues, los ingredientes del lenguaje. Ahora bien, de los lenguajes posibles nos interesa aquí uno: el lenguaje escrito. Consiste éste en un conjunto de signos, que pueden ser letras, vocablos, símbolos, cifras, etc. Los signos son agrupados en expresiones, las cuales pueden tener significación o carecer de ella. Así, 'el hombre es mortal' es una expresión. Pero son también expresiones 'el hombre es un para', 'el cuadrado redondo es verde', 'axt izm del', etc. La condición común de todas estas expresiones es tener una forma lineal, en la cual cada signo ocupa un lugar determinado. Una expresión no lineal —como un vocablo acentuado, una cifra con exponente, etc.—puede siempre reducirse a forma lineal. Sin esta condición no podría indicarse la posición de los signos en la expresión, y una ciencia general de los lenguajes escritos resultaría impracticable.

Los signos de que hablamos pueden ser divididos en dos grupos, que llamaremos, siguiendo a Rudolf Carnap, signos-acontecimientos y signos-modelos. Los signos-acontecimientos ocupan un lugar determinado en un tiempo determinado. Ejemplo de ellos es: la letra 'l' en el vocablo lila'. Los signos-modelos son clases de signos-acontecimientos. Ejemplo de ellos es: la clase a la cual pertenecen los dos signos 'l' en el vocablo 'lila', es decir, la 'l' que aparece dos veces en el vocablo 'lila`. Los signos de que tratamos en el presente libro son todos signos-modelos; dentro de la esfera de los mismos habrá que recortar los signos específicos de nuestro lenguaje: el lenguaje lógico.

Por lo pronto, partiremos para ello del lenguaje natural ordinario, tal como el empleado en los precedentes pasajes. Este lenguaje puede tener tres alcances: el cognoscitivo, el valorativo y el prescriptivo. Cuando tiene un alcance cognoscitivo, sus oraciones suelen estar en modo indicativo. Cuando tiene un alcance valorativo, sus oraciones suelen estar en modo subjuntivo. Cuando tiene un alcance prescriptivo, sus oraciones suelen estar en modo imperativo. Nos limitaremos aquí al lenguaje con alcance cognoscitivo. Este lenguaje se compone de partículas, algunas de ellas consistentes en una sola secuencia de signos —como las partículas 'oraciones`, 'cognoscitivo'-, y otras de ellas consistentes en dos o más secuencias de signos —como las partículas 'el lenguaje`, 'este libro', 'se compone de'-. Unas y otras pueden ser distribuidas en dos grupos: las partículas fácticas y las partículas lógicas. La diferencia entre ellas puede ser ilustrada mediante algunos ejemplos. Consideremos, en efecto, los siguientes enunciados:

Todas las orquídeas son hermosas
Si Ramiro lee este libro con cuidado,
entonces lo entenderá bien (2)
La ciencia es distinta de la vida (3).

En (1) hallamos partículas como las 'orquídeas', 'hermosas'; en (2), partículas como 'Ramiro', 'lee', 'este libro'—,'con cuidado', 'lo entenderá bien'; en (3), partículas como 'la ciencia', 'la vida'. Todas estas partículas son fácticas y pueden ser sustituidas por otras similares sin que se altere la estructura de tales enunciados. Por otro lado, en (1) hallamos partículas como 'todas', 'son'; en (2), partículas como 'si. . . entonces'; en (3), partículas como 'es distinta de'. Todas estas partículas son lógicas y no pueden ser sustituidas por otras sin que se altere la estructura de tales enunciados. Así, podemos escribir:

Todas las palmeras son exóticas (4),
Si Enrique va al cine, entonces pasará un buen rato
El mal es distinto del bien

sin que la mencionada estructura se, haya alterado. En cambio, no podemos escribir:

Algunas orquídeas son hermosas (7),
Ramiro lee este libro con cuidado
y lo entenderá bien (8),
La ciencia es idéntica a la vida (9),

sin alterar la mencionada estructura. Llamaremos a la estructura compuesta de partículas lógicas estructura lógica. Las estructuras lógicas de (1), (2) y (3) son respectivamente:

Todos. —. son. - -.,
Si. . . , entonces - - -,
-.-es distinto de-.-.-,

que son las mismas estructuras lógicas de (4), (5) y (6), pero no evidentemente las mismas que de (7), (8) y (9). Tales estructuras y las partículas de que se componen son el objeto primario de nuestra investigación: el lenguaje lógico.

Las estructuras anteriores son, pues, estructuras lógicas; no son, sin embargo, todavía verdades lógicas. Para que una estructura lógica sea verdadera es menester que los enunciados que la exhiben sean verdaderos independientemente de sus partículas fácticas. Consideremos ahora los enunciados siguientes:

Si todos los objetos físicos son espaciales y todos los planetas son objetos físicos, entonces todos los planetas son espaciales (10),
Las doctrinas políticas son utópicas o las doctrinas políticas no son utópicas (11).

Si todos—son ... y todos.—. son
—, entonces todos .—. son . . . (12),
—son .... o —no son.... (13),

que dan verdades lógicas siempre que los espacios punteados y guionados sean llenados en forma apropiada. Así, (12) y (13) pueden ser llenados de las siguientes maneras:

Si todos los hombres son mortales y todos los suecos son hombres, entonces todos los suecos son mortales.
Los manuales de lógica son aburridos o los manuales de lógica no son aburridos, que son lógicamente enunciados tan verdaderos como (10) y (11). Pero no pueden ser llenados de las siguientes maneras:

Si todos los hombres son mortales y todos los suecos son aburridos, entonces todos los australianos son perezosos,
Las doctrinas políticas son utópicas o las doctrinas políticas no son interesantes,
pues los resultados no son necesariamente enunciados verdaderos.

Partículas como 'si ... entonces', 'y, 'no', 'o', 'es idéntico a', etc., son llamadas partículas lógicas, las cuales forman parte del llamado vocabulario lógico. Este vocabulario puede ser considerablemente reducido, no sólo porque expresiones distintas en el lenguaje ordinario pueden ser uniformadas en el lenguaje lógico (Cf. § 6), sino también porque algunas partículas lógicas pueden ser definidas en términos de otras (Cf. § 11). Así, 'con tal que' y 'siempre que' pueden ser expresados mediante 'si ... entonces, y ,no', 'y', 'o' y otras partículas pueden ser definidas por medio de la sola partícula 'ni...ni'. Ahora bien, la pobreza cuantitativa del vocabulario lógico no confina este vocabulario a un rincón del universo lingüístico. Todo lo contrario; las partículas lógicas están presentes en todos los lenguajes discursivos. Y como los lenguajes de las ciencias son lenguajes discursivos, resulta que el lenguaje lógico es el más universal de los lenguajes y, en cierta medida, la base de todas las ciencias.

§ 2. Lenguaje y metalenguaje

La lógica presentada en este libro no consiste, sin embargo, sólo en exhibir partículas lógicas y verdades lógicas. Pueden asimismo formularse enunciados acerca de tales partículas y de tales verdades. Así,

'o' es una conjunción que debe insertarse entre dos fórmulas

constituye un enunciado sobre, una partícula lógica. A la vez,

'Si - - - , entonces - - - 'es un condicional verdadero'

constituye un enunciado sobre una verdad lógica. Ello significa que con los signos del vocabulario lógico puede hacerse lo mismo que con los, signos de todos los vocabularios: usarlos o mencionarlos. En el. primer caso, los signos son nombres de las entidades. que designan; en el segundo caso, los signos son nombres de sí, mismos... Unos ejemplos aclararán esta distinción. Si escribimos:

Nicasio es mortal (1),

formulamos un enunciado en el cual se atribuyó una propiedad a una entidad: la entidad cuyo nombre es 'Nicasio'. Decimos en tal caso que el signo 'Nicasio' es usado. En cambio, si escribimos:

'Nicasio' es un vocablo trisilábico (2),

formulamos un enunciado en el cual se atribuye una propiedad a un nombre: el nombre 'Nicasio'. Decimos en tal caso que el signo `Nicasio' es mencionado. Para subrayar la distinción, se ha adoptado, y se seguirá adoptando en lo sucesivo, la convención según la cual se escribe un signo mencionado entre semicomillas. No podíamos, en efecto, escribir:

Nicasio es un vocablo trisilábico,

pues lo que aquí hacemos en verdad es hablar del nombre 'Nicasio' y no de la entidad cuyo nombre es 'Nicasio'. La entidad en cuestión no tiene tres sílabas, pero su nombre sí las tiene. De hecho, (1) y (2) hubieran debido colocarse todos entre semicomillas, pues en ambos casos hemos mencionado dichos enunciados, pero es usual adoptar el expediente de suprimir las semicomillas cuando la expresión mencionada es escrita en una línea separada del texto.

La distinción entre uso y mención es fundamental. Fue ya barruntada por algunos escolásticos en la llamada teoría de las suposiciones. Entre éstas había, en efecto, dos que nos interesan aquí particularmente: la llamada suposición formal (suppositio formalis) y la llamada suposición material(suppositio materialis). Se decía que una expresión estaba en suppositio formalis cuando se refería a la entidad, tal como en:

Homo currit.

Se decía que una expresión estaba en suppositio materialis cuando se refería al nombre de la entidad, tal como en:

Homo est disyllabus

De hecho, (3) hubiera debido escribirse, según nuestra convención:

'Homo' est disyllabus.

Los escolásticos, sin embargo, aunque conocedores de la distinción entre el uso y la mención, no adoptaron ningún expediente en la escritura de los signos, se fiaban del contexto para descifrar en qué suppositio eran tomados cada una de las partículas o de los enunciados.

En nuestra actual terminología, la distinción entre uso y mención está basada en la llamada teoría de la jerarquía de lenguajesque analizaremos en § 40. Consiste esta teoría en distinguir entre un lenguaje, usualmente llamado objeto lenguaje,* y el lenguaje de este lenguaje, usualmente llamado metalenguaje. El metalenguaje es el lenguaje en el cual hablamos acerca del objeto-lenguaje. Para hablar de un lenguaje necesitamos, en efecto, siempre otro lenguaje. Si escribimos:

'Los cuerpos son pesados' es verdadero,

tenemos una expresión en la cual 'es verdadero' es afirmado de 'los cuerpos son pesados'. 'Es verdadero' pertenece, pues, a un metalenguaje: el metalenguaje del objetos lenguaje de la física en el cual se enuncia que todos los cuerpos son pesados. El objeto-lenguaje es siempre un lenguaje inferior al metalenguaje. Sin embargo, 'inferior' no debe entenderse aquí en un sentido valorativo; designa simplemente el lenguaje del cual se habla y especifica su posición en el universo del discurso. El objeto-lenguaje lo es, en efecto, sólo con relación al metalenguaje, y éste sólo con relación a aquél, Por otro lado, un metalenguaje se llama inferior con respecto a otro metalenguaje en que se habla de él. Así, el metalenguaje al cual pertenece el enunciado:

'Sauce' es una voz en el idioma español

es inferior al metalenguaje al cual pertenece el enunciado:

'Sauce' es una voz en el idioma español' es verdadero.

La serie de metalenguajes es, por lo tanto, infinita. Con el fin de evitar la reduplicación de `meta' antepuesto a 'lenguaje' —metalenguaje, meta-metalenguaje, etc.— suele usarse el índice 'Ln.'. Así, dado un lenguaje cualquiera, Ln, 'Ln+1 indica su metalenguaje, Ln+2 el metalenguaje de ese metalenguaje, y así sucesivamente.

* Una expresión española más correcta sería quizás 'lenguaje-objeto'. Sin embargo, 'objeto-lenguaje' ofrece un paralelismo lingüístico con 'metalenguaje' que conviene conservar.

§ 3. Semiótica

De lo anterior se desprende que lo que hemos llamado lógica puede entenderse en dos sentidos:
(a) Como el sistema de signos lógicos, el cual, según antes apuntamos, está en la base de todo discurso;
(b) Como la serie de metalenguajes en los cuales es posible hablar acerca de dichos signos lógicos.

Llamaremos a (b) metalógica. La lógica que se expone habitualmente en los tratados de esta ciencia se compone por igual de (a) de (b), por lo tanto, es imposible separar completamente la lógica de la metalógica en la presentación de esta disciplina. Esta imposibilidad se hará patente en los capítulos que siguen del presente libro; aunque la metalógica es objeto de un capítulo especial, enunciados metalógicos serán frecuentes en los capítulos que desarrollan las diversas partes de la lógica.

La metalógica es una parte de la llamada semiótica o estudio general de los signos. La semiótica puede ser considerada como un metalenguaje. Ahora bien, los metalenguajes tienen tres dimensiones, cada una de las cuales da origen a una diferente rama del estudio semiótico: la sintaxis, la semántica y la pragmática.

La sintaxis estudia los signos como puras y simples figuras, independientemente de lo que designan y significan. Se define asimismo como el estudio de las relaciones de los signos entre sí.. Por lo tanto, la sintaxis es la teoría de la construcción o formación de todo lenguaje. Cuando los lenguajes estudiados son los lenguajes lógicos, la sintaxis es llamada a veces sintaxis lógica. Un ejemplo de enunciados pertenecientes a la sintaxis lógica es: "Si los cuerpos son menos pesados que el agua, entonces flotan en el agua' es un condicional'. La sintaxis lógica puede ser a su vez sintaxis no-aritmética y sintaxis aritmética. Referencia a esta última se hallará en § 43.

La semántica estudia los signos en su relación con los objetos designados. La semántica opera, pues, en un nivel menos abstracto y formal que la sintaxis. Como una de las relaciones entre los signos y los objetos designados es la relación de verdad, la noción de verdad cae dentro de la semántica. Así, un enunciado perteneciente a la semántica es: "Si los cuerpos son menos pesados que el agua, entonces flotan en el agua' es un enunciado verdadero'.

La pragmática estudia los signos en su relación con los sujetos que los usan. Como en este respecto se dice que los signos significan algo para alguien, la pragmática se ocupa de las significaciones. La pragmática opera, pues, en un nivel menos abstracto y formal que la sintaxis y la semántica. Un ejemplo de enunciados pertenecientes a la pragmática es: ''Los hombres son naturalmente afectuosos' es considerado como poco plausible'.

Como nos ocuparemos más circunstancialmente de la sintaxis, la semántica y la pragmática en el capítulo VIII, las esquemáticas definiciones anteriores serán consideradas provisionalmente como suficientes. Concluiremos indicando que, considerada como una serie de metalenguajes, la metalógica poseerá las tres dimensiones: la sintáctica, la semántica y la pragmática. Como oportunamente veremos, la primera dimensión ha sido estudiada con notable detalle y rigor; la segunda, con bastante amplitud; la tercera, con escasa profundidad.

§ 4. Lógica deductiva y lógica inductiva

La lógica que presentaremos y la metalógica en la cual hablaremos de ella hann sido llamadas con frecuencia lógica deductiva. Junto a ella se ha solido presentar otra lógica, calificada de lógica inductíva. Ambos calificativos son poco afortunados. En efecto, la forma deductiva es propia no sólo de la lógica y la metalógica que aquí presentaremos, sino también de la lógica inductiva, que excluiremos. Por otra parte, esta última lógica se ocupa de otros temas además del de la inducción. En vista de ello podría pensarse que mientras la lógica deductiva tiene, por decirlo en el vocabulario tradicional, un carácter "formal", la lógica inductiva posee un carácter "material". Pero tampoco estos calificativos son apropiados; aunque con frecuencia menos acentuado que en la lógica deductiva, el formalismo está presente asimismo en la lógica inductiva. No entraremos aquí en detalles sobre este problema. Nos limitaremos a señalar que en el estado actual de la lógica inductiva lo más plausible es' considerarla como una lógica probabilitaria, de tal modo que todo razonamiento inductivo será un razonamiento en términos de probabilidad. Sin embargo, los principios y teoremas de la lógica inductiva no son de naturaleza sintética, sino analítica, no dependiendo, por lo tanto, de presuposiciones sintéticas tales como las de la regularidad y uniformidad de los fenómenos, que habían constituido uno de los ejes principales de la lógica inductiva en el pasado.

Aunque elaborada en muy diversas ocasiones, a veces con gran habilidad y detalle, la lógica inductiva no ha entrado sino recientemente, como diría Kant, en el seguro camino de la ciencia. La contribución de Carnap, a ella debe ser considerada como fundamental; no sería sorprendente que la obra aún no terminada de dicho autor sobre la probabilidad y la inducción (Cf. Apéndice: Bibliografía) desempeñara en la lógica inductiva el mismo papel revolucionario que la obra de Gottlob Frege (Cf. ibidem) desempeñó en la lógica deductiva. Por desgracia, no podemos extendernos aquí sobre este punto; nos urge ya presentar el sistema de lógica y de metalógica que constituye la principal tarea de este volumen.

§ 5. El formalismo en la lógica

El carácter formal de la lógica se revela en el hecho de que esta disciplina se ocupa únicamente de estructuras formales en el sentido definido en § 1, y de las relaciones entre tales estructuras. Una de estas relaciones es, por ejemplo, la deducibilidad.

Sin embargo, una lógica puede ser formal sin ser todavía formalizada. Una lógica se halla formalizada cuando se enumeran en ella todos los signos no definidos; se especifica en qué condiciones una fórmula dada pertenece al sistema; se enumeran los axiomas usados como premisas y las reglas de inferencia consideradas como aceptables, etc.

Así, por ejemplo, la lógica tal como es presentada en los textos de Aristóteles es una lógica formal, pero no ha sido formalizada por el Estagirita. No obstante, esta lógica puede ser formalizada, tal como lo ha hecho J. Lukassiewicz en su obra sobre la silogística aristotélica.

Debe advertirse que los términos 'formal' y 'formalizado' no deben confundirse con el vocablo 'formalista' que se emplea para designar una de las tres grandes escuelas en la matemática contemporánea, junto a las escuelas logicista e intuicionista. No nos extenderemos sobre este punto, que no entra en nuestro programa; indicaremos simplemente que la formalización se aplica a la escuela formalista tanto como a las escuelas logicista e intuicionista.